Рассмотрим точку \(K\) - основание внешней биссектрисы \(\angle XGY\) в \(\triangle XGY\). Заметим, что так как \(GK\) перпендикулярна \(GA\), прямая \(GK\) фиксирована. Также, если \(L\) - основание биссектрисы того же угла, по известному свойству двойные отношения \((XY, LK) = -1\). Рассмотрим пучок прямых из \(A\) к этим точкам: \((AX, AY; AL, AK) = -1\). Первые \(3\) прямые фиксированы, фиксированы двойные отношения, значит фиксирована и четвертая \(\Rightarrow AK\) фиксирована, а значит \(K\) лежит на \(2\) фиксированных прямых и на \(XY\), чтд