Олимпиада Курчатов 2022, 11 класс, №5

Точка \(P\) внутри остроугольного треугольника \(ABC\) такова, что \(\angle BAP=\angle CAP\). Точка \(M\) — середина стороны \(BC\). Прямая \(MP\) пересекает описанные окружности треугольников \(ABP\) и \(ACP\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно (точка \(P\) лежит между точками \(M\) и \(E\), точка \(E\) лежит между точками \(P\) и \(D\)). Оказалось, что \(DE = MP\). Докажите, что \(BC = 2BP\).

Видеоразбор

Решение

Точка \(P\) внутри остроугольного треугольника \(ABC\) такова, что \(\angle BAP=\angle CAP\). Точка \(M\) — середина стороны \(BC\). Прямая \(MP\) пересекает описанные окружности треугольников \(ABP\) и \(ACP\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно (точка \(P\) лежит между точками \(M\) и \(E\), точка \(E\) лежит между точками \(P\) и \(D\)). Оказалось, что \(DE = MP\). Докажите, что \(BC = 2BP\).

Видеоразбор

Решение

Видеоразбор

Видеоразбор будет позднее

Решение

Докажем равенство \(\triangle BDP\) и \(\triangle CEM\). Из этого, очевидно, последует \(BP = CM = \frac{BC}2 \Leftrightarrow\) вопросу задачи.
1) \(DP = EM\) из условия
2) \(\angle BDP = \) (вписанность) \(\angle BAP = \) (биссектриса)\( \angle CAP = \) (вписанность) \(\angle CEP \Leftrightarrow \angle CEM\)
3) По теореме синусов \(CMP\) и \(BMP\): \(\frac{BP}{sin\angle BMP} = \frac{BM}{sin\angle BPM}\); \(\frac{CP}{sin\angle CMP} = \frac{CM}{sin\angle CPM}\); \(BM = CM\); \(sin\angle BMP = sin\angle CMP \Rightarrow\) поделив верхние равенства получим \(\frac{BP}{CP} = \frac{sin\angle CPM}{sin\angle BPM}\). По теореме синусов \(BPD\) и \(CPE\): \(\frac{BP}{sin\angle BDP} = \frac{BD}{sin\angle BPD}\); \(\frac{CP}{sin\angle CEP} = \frac{CE}{sin\angle CPE}\). \(\angle BDP = \angle CEP\); \(\frac{BP}{CP} = \frac{sin\angle CPM}{sin\angle BPM} = \frac{sin<CPE}{sin<BDP}\); \(\Rightarrow\) поделив верхние равенства получим \(BD = CE \Rightarrow\) Треугольники равны по \(2\) сторонам и углу между ними, ч.т.д.