Московская олимпиада школьников 2021, 11 класс, №2

В остроугольном треугольнике \(ABC\) точка \(O\) — центр описанной окружности. Точка \(B_1\) симметрична точке \(B\) относительно стороны \(AC\). Прямые \(AO\) и \(B_1C\) пересекаются в точке \(K\). Докажите, что луч \(KA\) является биссектрисой угла \(BKB_1\)

Видеоразбор

Решение

В остроугольном треугольнике \(ABC\) точка \(O\) — центр описанной окружности. Точка \(B_1\) симметрична точке \(B\) относительно стороны \(AC\). Прямые \(AO\) и \(B_1C\) пересекаются в точке \(K\). Докажите, что луч \(KA\) является биссектрисой угла \(BKB_1\)

Видеоразбор

Решение

Видеоразбор

Видеоразбор будет позднее

Решение

Заметим, что так как \(BO = CO\), можно сказать, что \(KA\) - биссектриса \(\angle BKB1 \Leftrightarrow BKCO\) - вписанный (тогда \(O\) будет серединой дуги \(\Rightarrow\) на биссектрисе). Докажем, что \(\angle OKC = \angle OBC\). \(\angle OKC = \angle ACB_1 - \angle CAK\) (из треугольника \(CAK\)) \(= \angle ACB- \angle CAK = \angle ACB - \frac{180\degree - \angle AOC}2 = \angle ACB + \angle ABC - 90\degree = 90\degree - \angle BAC = \frac{180\degree - \angle BOC}2 = \angle OBC\), ч.т.д.