Пусть точка касания вписанной окружности \(ABC\) со стороной \(AC\) - \(K_b\), для \(ADC\) - аналогично \(K_d\). По формуле отрезка до точки касания \(AK_b = \frac{AB + AC - BC}2\); \(AK_d = \frac{AD + AC - DC}2\). Из описанности \(ABCD\): \(AD - DC = AB - BC \Rightarrow AK_b = AK_d \Rightarrow K_b\) и \(K_d\) совпадают. Осталось заметить, что при симметрии относительно \(AC\) вписанные окружности из-за общей точки касания и равных радиусов совместятся \(\Rightarrow\) касательная \(AB\) перейдет в другую касательную \(\Rightarrow\) в \(AD\), аналогично \(CB\) перейдет в \(CD \Rightarrow B\) перейдет в \(D \Rightarrow BD \perp AC\)