Будем рассматривать касательную к \((ABC)\) как касательную к \((AMN)\)(из гомотетии это верно). Также понятно, что \(MN\), как средняя линия, делит \(AK\) пополам. Тогда в \(\triangle ANK\, M\) - точка Шалтая \(\Rightarrow (NMK)\) касается \(AK\), ч.т.д. (Не зная, что такое точка Шалтая, можно рассуждать так: середина \(AK\) (\(X\)) лежит на радикальной оси \((NMK)\), \((AMN) \Rightarrow\) касательные из неё до окружностей равны \(\Rightarrow\) т.к. \(XA = XK\), \(XA\) - касательная, значит \(XK\) - тоже)