Всесибирская олимпиада школьников 2022, 11 класс, №4

Всесибирская олимпиада школьников 2022 11 класс №4

Пусть \(Н\) — точка пересечения высот остроугольного треугольника \(АВС\), точка \(М\) — середина стороны \(АС\). На стороне \(АВ\) выбрана точка \(K\) такая, что прямая \(ВН\) делит отрезок \(СK\) пополам. Доказать, что отрезки \(МН\) и \(СK\) перпендикулярны.

Видеоразбор

Решение

Всесибирская олимпиада школьников 2022 11 класс №4

Пусть \(Н\) — точка пересечения высот остроугольного треугольника \(АВС\), точка \(М\) — середина стороны \(АС\). На стороне \(АВ\) выбрана точка \(K\) такая, что прямая \(ВН\) делит отрезок \(СK\) пополам. Доказать, что отрезки \(МН\) и \(СK\) перпендикулярны.

Видеоразбор

Решение

Видеоразбор

Видеоразбор будет позднее

Решение

Пусть \(N\) - середина \(CK\). Заметим, что \(MN || AK\) как средняя линия, \(CH \perp AK \Rightarrow \perp MN\); \(HN \perp CM\); \(\Rightarrow M\) - ортоцентр \(CHM\), \(\Rightarrow HM \perp CK\), ч.т.д.