Докажем более сильное утверждение, что \(CS_1\) и \(CT_2\) являются изогоналями угла \(ACB\), аналогично \(CT_1\) и \(CS_2\), из этого последует требуемое. Пусть \(AC = a\), \(BC = b\). Сделаем инверс-симметрию в вершине \(C\) с радиусом \(R = \sqrt{ab/2}\), симметрия относительно биссектрисы \(ACB\). Тогда \(A\) перейдет в середину \(BC\), \(B\) - в середину \(AC \Rightarrow\) прямая \(AB \rightarrow\) окружность \(9\) точек. Пусть точка касания вписанной окружности со стороной \(AC\) - \(K\), вневписанной с \(AC\) - \(T\). Тогда заметим, что \(CK\) равно радиусу вписанной (известный факт), \(CT\) равно \(p\) - полупериметру \(ABC\). Тогда \(CT \cdot CK = pr = S_{abc} = \frac{ab}{2} = R^2 \Rightarrow T \rightarrow K \Rightarrow\) вневписанная перейдет во вписанную \(\Rightarrow\) точка касания \(AB\) и вневписанной перейдет в точку касания окружности \(9\) точек и вписанной \(\Rightarrow T_2 \rightarrow S_1\), а так как инверсия не меняет прямую \(CT_2\), а симметрия отражает относительно биссектрисы, \(CT_2'\) будет изогональю \(CT_2 \Rightarrow CT_2,\, CS_1\) - изогонали, ч.т.д.