Пусть \(AH\) пересекает \(BC\) в \(A_1\) и \((ABC)\) в \(H'\). По известному свойству, \(A_1 H = A_1 H'\). Заметим, что так как \(BD || AC\), по свойству параллельных хорд, \(AD = BC\). Аналогично, \(AE = BC\). Будем доказывать, что \(\angle ADE = \angle ADH\). \(\angle ADE = \angle AH'D\) как опирающиеся на равные дуги \(\Rightarrow\) (!)\(\angle AH'D = \angle ADH\) (из подобия \(ADH\) и \(AH'D\) или касания \((DHH')\) и \(AD\))\(\Leftrightarrow\)(!)\(AD^2 = AH\cdot AH'\)
\(AH'\cdot AH = (AA_1 - A_1H)(AA_1 + A_1H')\), так как \(A_1H = A_1H'\); \(= AA_1^2 - A_1H^2\); \(AD = BC \Rightarrow\)(!)\(BC^2 = AA_1^2 - A_1H^2\). Прибавим и вычтем из левой стороны \(A_1C^2\).
(!)\(BC^2 = (AA_1^2 + A_1 C^2) - (A_1H^2 + A_1C^2) = AC^2 - CH^2\).
(!)\(CH^2 = AC^2 - BC^2 = AH^2 - BH^2\) (так как \(CH\) перпендикулярна \(AB\), из теоремы Пифагора или как общеизвестный факт), что дано из условия, ч.т.д.

Введем комплексную плоскость, где \((ABC)\) - единичная окружность. Тогда \(A\), \(B\), \(C\) - \(a\), \(b\), \(c\); из параллельности \(D\) - \(\frac{ac}{b}\), \(E\) - \(\frac{ab}{c}\), \(H\), по известному свойству \(= a + b + c\). Тогда условие \(AH^2 = BH^2 + CH^2 \Leftrightarrow (b+c)(\overline{b} + \overline{c} )= (a+b)(\overline{a} + \overline{b} ) + (a+c)( \overline{a} + \overline{c} )\)
\(a \overline{a} =b \overline{b} =c \overline{c} \Rightarrow b \overline{c} + c \overline{b} = a \overline{b} + b \overline{a} + a \overline{c} + c \overline{a} + 2 \Rightarrow \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2\). По уравнению хорды \(XY\) единичной окружности \((p + xy\overline{p} = x + y)\) запишем коллинеарность \(D\), \(E\), \(H\): \(a + b + c + \frac{ab}{c} \cdot \frac{ac}{b} \cdot (\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) = \frac{ab}{c} + \frac{ac}{b}\);
\(a + b + c + a + \frac{a^2}{b} + \frac{a^2}{c} = \frac{ab}{c} + \frac{ac}{b}\); a это - домноженное на \(a\) равенство выше, которое верно из условия задачи, ч.т.д.